Zadanie 2. Wyznacz miary kątów ostrych trójkąta prostokątnego, w którym przeciwprostokątna ma długość 12, a jedna z przyprostokątnych jest trzy razy krótsza od przeciwprostokątnej. Zadanie 3. Oblicz długość cienia budynku o wysokości 60 metrów w momencie, gdy promienie słoneczne padają pod kątem 55°? Zadanie 4. Matematyka (styczeń 2021 r.) Temat 25. Wprowadzenie do trygonometrii. Temat 26. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. Temta 27. Zastosowanie funkcji trygonometrycznych w zadaniach. Temat 28. Tożsamości trygonometryczne. ZADANIA z rozwiązaniem - funkcje trygonometryczne, zadania tekstowe, tożsamości trygonometryczne - matematyka, matura MATERIAŁ MATURALNY > funkcje trygonometryczne Zadanie 1. Matura 2013 styczeń Różne zadania z trygonometrii Matura podstawowa z matematyki - kurs - trygonometria Matura podstawowa - kurs - część 41 - zadania Sąsiednie zadania Zadanie 87 Zadanie 88 Trójkąty nie zawsze są prostokątne (aczkolwiek nigdy nie są błędne), ale kiedy są, otwiera się pasjonujący świat możliwości. Nie tylko trójkąty prostokątne są fajne w ich własnych prawach, są też podstawami bardzo ważnych idei w geometrii analitycznej (odległość między dwoma punktami w przestrzeni) i trygonometrii. Szkoła podstawowa. Zadania z matematyki, tabliczka mnożenia. TEST, Dodawanie i odejmowanie w zakresie 100, Zadania tekstowe z dodawania i odejmowania w zakresie Trygonometria ma bardzo szerokie zastosowanie w wielu dziedzinach życia, w których niezbędne jest mierzenie i obliczanie rzeczywistych wielkości. Trygonometria jest podstawą do wykonywania najróżniejszych pomiarów na powierzchni ziemi, jest stosowana w informatyce (grafika trójwymiarowa), umożliwia działanie urządzeń nawigacyjnych http://bit.ly/mapy-mysli-do-matury Rozwiązywanie zadań dowodowych z trygonometrii nie musi być trudne, zwłaszcza jeżeli uczysz się z mapami myśli. Na prostym Matura podstawowa. Kąt środkowy i wpisany – zadania maturalne. Lubię takie zadania, dziękuję za odświeżenie wiedzy z tego działu. Odpowiedz. MegaMatma: Test Zastosowanie trygonometrii do obliczania pól powierzchni i objętości. Zacznij rozwiązywać test!! Aby wyświetlić prawidłowe rozwiązania i wynik Twojego testu, wyślij SMS o treści AP.TFU4 na nr 73068. Otrzymasz dostęp do wszystkich klasówek i testów, oraz płatnych artykułów przez dwie godziny ( 120min )! XjK0. źródło:Oficyna Edukacyjna. Zbiór zadań do liceów i techników. Klasa 1. Zakres podstawowy. Marcin Kurczab, Elżbieta Kurczab, Elżbieta Świda. Wydanie II uwaga wyjątkowo w tej książce nie wszystkie zadania zostały rozwiązane– stąd przerwy w numeracji zadań Określenie sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa w trójkącie prostokątnymWartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa dla kątów 30°, 45° i 60°Sinus, cosinus, tangens i cotangens dowolnego kąta wypukłegoPodstawowe tożsamości trygonometryczneWybrane wzory redukcyjneTrygonometria – zadania różneTest sprawdzający do rozdziału 6Zadania powtórzeniowe do rozdziału 6 Określenie sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa w trójkącie prostokątnym oe3401znaki dymne powiązane z zadaniem:definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115 oe3402znaki dymne powiązane z zadaniem:przybliżenia liczbid: zd0104definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115 oe3403znaki dymne powiązane z zadaniem:przybliżenia liczbid: zd0104definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115 oe3404znaki dymne powiązane z zadaniem:przybliżenia liczbid: zd0104definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115 oe3405znaki dymne powiązane z zadaniem:przybliżenia liczbid: zd0104definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115 oe3406znaki dymne powiązane z zadaniem:definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115 oe3407znaki dymne powiązane z zadaniem:wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115 oe3408znaki dymne powiązane z zadaniem:definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115 oe3411znaki dymne powiązane z zadaniem:definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115 oe3412znaki dymne powiązane z zadaniem:definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115 oe3413znaki dymne powiązane z zadaniem:przybliżenia liczbid: zd0104definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115 oe3414znaki dymne powiązane z zadaniem:przybliżenia liczbid: zd0104definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115 oe3415znaki dymne powiązane z zadaniem:definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115 oe3416znaki dymne powiązane z zadaniem:definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115 oe3417znaki dymne powiązane z zadaniem:definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115 oe3418znaki dymne powiązane z zadaniem:definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115 oe3419znaki dymne powiązane z zadaniem:definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115 oe3420znaki dymne powiązane z zadaniem:wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115 oe3421znaki dymne powiązane z zadaniem:definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115 oe3422znaki dymne powiązane z zadaniem:definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115 oe3423znaki dymne powiązane z zadaniem:definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115 oe3424znaki dymne powiązane z zadaniem:przybliżenia liczbid: zd0104definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115 oe3425znaki dymne powiązane z zadaniem:przybliżenia liczbid: zd0104definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115 oe3426znaki dymne powiązane z zadaniem:definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115 oe3427znaki dymne powiązane z zadaniem:definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115 oe3429znaki dymne powiązane z zadaniem:przybliżenia liczbid: zd0104definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115okrąg i koło, wycinki i odcinkiid: zd0100 oe3431znaki dymne powiązane z zadaniem:definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115 oe3433znaki dymne powiązane z zadaniem:dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115 Wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa dla kątów 30°, 45° i 60° oe3434znaki dymne powiązane z zadaniem:podstawy szybkiego liczenia: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenieid: zd0005definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075 oe3435znaki dymne powiązane z zadaniem:podstawy szybkiego liczenia: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenieid: zd0005wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075 oe3436znaki dymne powiązane z zadaniem:podstawy szybkiego liczenia: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenieid: zd0005definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075 oe3437znaki dymne powiązane z zadaniem:podstawy szybkiego liczenia: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenieid: zd0005definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075trójkąt równobocznyid: zd0101kwadratid: zd0102 oe3438znaki dymne powiązane z zadaniem:podstawy szybkiego liczenia: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenieid: zd0005definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075trójkąt równobocznyid: zd0101kwadratid: zd0102 oe3439znaki dymne powiązane z zadaniem:podstawy szybkiego liczenia: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenieid: zd0005definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075trójkąt równobocznyid: zd0101kwadratid: zd0102 oe3440znaki dymne powiązane z zadaniem:podstawy szybkiego liczenia: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenieid: zd0005definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075trójkąt równobocznyid: zd0101kwadratid: zd0102 oe3441znaki dymne powiązane z zadaniem:podstawy szybkiego liczenia: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenieid: zd0005definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075trójkąt równobocznyid: zd0101kwadratid: zd0102 oe3442znaki dymne powiązane z zadaniem:podstawy szybkiego liczenia: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenieid: zd0005definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075trójkąt równobocznyid: zd0101kwadratid: zd0102 oe3443znaki dymne powiązane z zadaniem:podstawy szybkiego liczenia: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenieid: zd0005definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075trójkąt równobocznyid: zd0101kwadratid: zd0102 Sinus, cosinus, tangens i cotangens dowolnego kąta wypukłego oe3486znaki dymne powiązane z zadaniem:definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory redukcyjneid: zd0076 oe3487znaki dymne powiązane z zadaniem:wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory redukcyjneid: zd0076 oe3488znaki dymne powiązane z zadaniem:definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory redukcyjneid: zd0076 Podstawowe tożsamości trygonometryczne oe3462znaki dymne powiązane z zadaniem:podstawy szybkiego liczenia: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenieid: zd0005definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory trygonometryczne w trygonometriiid: zd0074 oe3463znaki dymne powiązane z zadaniem:podstawy szybkiego liczenia: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenieid: zd0005definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory trygonometryczne w trygonometriiid: zd0074 oe3464znaki dymne powiązane z zadaniem:podstawy szybkiego liczenia: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenieid: zd0005definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory trygonometryczne w trygonometriiid: zd0074 oe3465znaki dymne powiązane z zadaniem:podstawy szybkiego liczenia: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenieid: zd0005definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory trygonometryczne w trygonometriiid: zd0074 oe3469znaki dymne powiązane z zadaniem:podstawy szybkiego liczenia: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenieid: zd0005definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory trygonometryczne w trygonometriiid: zd0074 oe3472znaki dymne powiązane z zadaniem:podstawy szybkiego liczenia: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenieid: zd0005definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory trygonometryczne w trygonometriiid: zd0074 oe3473znaki dymne powiązane z zadaniem:podstawy szybkiego liczenia: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenieid: zd0005definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory trygonometryczne w trygonometriiid: zd0074 oe3479znaki dymne powiązane z zadaniem:podstawy szybkiego liczenia: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenieid: zd0005definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory trygonometryczne w trygonometriiid: zd0074 oe3480znaki dymne powiązane z zadaniem:podstawy szybkiego liczenia: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenieid: zd0005wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory trygonometryczne w trygonometriiid: zd0074 oe3481znaki dymne powiązane z zadaniem:podstawy szybkiego liczenia: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenieid: zd0005wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory trygonometryczne w trygonometriiid: zd0074 Wybrane wzory redukcyjne oe3484znaki dymne powiązane z zadaniem:definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory redukcyjneid: zd0076 oe3485znaki dymne powiązane z zadaniem:definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory redukcyjneid: zd0076 oe3495znaki dymne powiązane z zadaniem:definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory redukcyjneid: zd0076 oe3496znaki dymne powiązane z zadaniem:definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory redukcyjneid: zd0076 oe3497znaki dymne powiązane z zadaniem:dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory redukcyjneid: zd0076 oe3498znaki dymne powiązane z zadaniem:dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory redukcyjneid: zd0076 Trygonometria – zadania różne oe3534znaki dymne powiązane z zadaniem:wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory redukcyjneid: zd0076 oe3535znaki dymne powiązane z zadaniem:wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006podnoszenie do kwadratu i pierwiastkowanie stronami równań i nierównościid: zd0041definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory redukcyjneid: zd0076 oe3536znaki dymne powiązane z zadaniem:wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006podnoszenie do kwadratu i pierwiastkowanie stronami równań i nierównościid: zd0041definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory redukcyjneid: zd0076 oe3533znaki dymne powiązane z zadaniem:definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory redukcyjneid: zd0076 oe3537znaki dymne powiązane z zadaniem:działania na liczbach - spojrzenie globalneid: zd0015liczenie potęg i pierwiastków, działania na potęgach i pierwiastkachid: zd0016liczenie logarytmów, działania na logarytmach - po co ten logarytm? wyłączanie dwójki przed logarytmid: zd0017definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory redukcyjneid: zd0076 oe3538znaki dymne powiązane z zadaniem:dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103działania na liczbach - spojrzenie globalneid: zd0015liczenie potęg i pierwiastków, działania na potęgach i pierwiastkachid: zd0016liczenie logarytmów, działania na logarytmach - po co ten logarytm? wyłączanie dwójki przed logarytmid: zd0017definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory redukcyjneid: zd0076 oe3539znaki dymne powiązane z zadaniem:definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory redukcyjneid: zd0076 oe3540znaki dymne powiązane z zadaniem:dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory redukcyjneid: zd0076 oe3541znaki dymne powiązane z zadaniem:podstawy szybkiego liczenia: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenieid: zd0005piętrowe ułamkiid: zd0011definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory redukcyjneid: zd0076 oe3542znaki dymne powiązane z zadaniem:dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002podstawy szybkiego liczenia: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenieid: zd0005piętrowe ułamkiid: zd0011pierwiastkowanie liczby podniesionej do kwadratuid: zd0013definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory redukcyjneid: zd0076 Test sprawdzający do rozdziału 6 1-5id: oe3529znaki dymne powiązane z zadaniem:definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory redukcyjneid: zd0076twierdzenie sinusów, twierdzenie cosinusówid: zd0124 6-10id: oe3530znaki dymne powiązane z zadaniem:definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory redukcyjneid: zd0076twierdzenie sinusów, twierdzenie cosinusówid: zd0124 11-15id: oe3531znaki dymne powiązane z zadaniem:liczenie logarytmów, działania na logarytmach - po co ten logarytm? wyłączanie dwójki przed logarytmid: zd0017definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory redukcyjneid: zd0076twierdzenie sinusów, twierdzenie cosinusówid: zd0124 16-20id: oe3532znaki dymne powiązane z zadaniem:wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008działania na liczbach - spojrzenie globalneid: zd0015liczenie potęg i pierwiastków, działania na potęgach i pierwiastkachid: zd0016liczenie logarytmów, działania na logarytmach - po co ten logarytm? wyłączanie dwójki przed logarytmid: zd0017definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory redukcyjneid: zd0076niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127twierdzenie sinusów, twierdzenie cosinusówid: zd0124 Zadania powtórzeniowe do rozdziału 6 oe3557znaki dymne powiązane z zadaniem:definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory redukcyjneid: zd0076trójkąt równobocznyid: zd0101 oe3543znaki dymne powiązane z zadaniem:dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002podstawy szybkiego liczenia: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenieid: zd0005piętrowe ułamkiid: zd0011pierwiastkowanie liczby podniesionej do kwadratuid: zd0013definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory redukcyjneid: zd0076 oe3558znaki dymne powiązane z zadaniem:definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory redukcyjneid: zd0076 oe3559znaki dymne powiązane z zadaniem:przybliżenia liczbid: zd0104definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory redukcyjneid: zd0076 oe3548znaki dymne powiązane z zadaniem:definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory redukcyjneid: zd0076trójkąt równobocznyid: zd0101 Szybka nawigacja do zadania numer: 10 20 30 40 50 60 70 .W tym nagraniu wideo omawiam typowe zadanie z trygonometrii, w którym mamy daną wartość jednej funkcji trygonometrycznej, a musimy policzyć wartości wszystkich pozostałych funkcji tego typu można rozwiązywać na kilka różnych sposobów - np. korzystając z twierdzenia Pitagorasa, albo jedynki trygonometrycznej. Plusy i minusy każdej z tych metod omawiam w tym nagraniu nagrania: 13 \(\alpha \) jest ostry i \(\cos \alpha =\frac{3}{4}\). Wtedy \(\sin \alpha \) jest równy A.\( \frac{1}{4} \) B.\( \frac{\sqrt{3}}{4} \) C.\( \frac{\sqrt{7}}{4} \) D.\( \frac{7}{16} \) CKąt \(\alpha \) jest ostry i \(\cos \alpha =\frac{3}{7}\). Wtedy A.\( \sin \alpha =\frac{2\sqrt{10}}{7} \) B.\( \sin \alpha =\frac{\sqrt{10}}{7} \) C.\( \sin \alpha =\frac{4}{7} \) D.\( \sin \alpha =\frac{3}{4} \) ASinus kąta ostrego \(\alpha \) jest równy \(\frac{3}{7}\). Wówczas cosinus tego kąta jest równy: A.\( \frac{4}{7} \) B.\( \frac{7}{4} \) C.\( \frac{2\sqrt{7}}{7} \) D.\( \frac{2\sqrt{10}}{7} \) DKąt \( \alpha \) jest ostry i \( \sin \alpha =\frac{1}{4} \). Wówczas A.\(\cos \alpha \lt \frac{3}{4} \) B.\(\cos \alpha =\frac{3}{4} \) C.\(\cos \alpha =\frac{\sqrt{13}}{4} \) D.\(\cos \alpha >\frac{\sqrt{13}}{4} \) DKąt \(\alpha\) jest ostry i \(\sin{\alpha}=\frac{4}{5}\). Wtedy \(\cos{\alpha }\) jest równy A.\( \frac{1}{5} \) B.\( \frac{2}{5} \) C.\( \frac{3}{5} \) D.\( \frac{4}{5} \) CKąt \(\alpha\) jest ostry i \(\cos \alpha = \frac{3}{4}\). Wtedy \(\sin \alpha\) jest równy A.\( \frac{1}{4} \) B.\( \frac{\sqrt{7}}{4} \) C.\( \frac{7}{16} \) D.\( \frac{\sqrt{7}}{16} \) BKąt \(\alpha \) jest ostry i \(\cos \alpha =\frac{5}{13}\). Wtedy A.\( \sin \alpha =\frac{12}{13} \) oraz \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{12}{5}\) B.\( \sin \alpha =\frac{12}{13} \) oraz \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{5}{12}\) C.\( \sin \alpha =\frac{12}{5} \) oraz \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{12}{13}\) D.\( \sin \alpha =\frac{5}{12} \) oraz \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{12}{13}\) AKąt \(\alpha \) jest ostry i \(\cos \alpha =\frac{4}{5}\). Oblicz \(\sin \alpha \) i \(\operatorname{tg} \alpha \).\(\sin \alpha =\frac{3}{5}\), \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{3}{4}\)Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\sin\alpha =\frac{\sqrt{2}}{2} \). Wtedy \(\operatorname{tg}\alpha\) jest równy A.\( \frac{\sqrt{2}}{2} \) B.\( \frac{2}{\sqrt{2}} \) C.\( \sqrt{2} \) D.\( 1 \) DKąt \(\alpha \) jest ostry oraz \(\sin \alpha =\frac{2}{5}\). Wówczas A.\( \cos \alpha =\sin \alpha \) B.\( \cos \alpha >\sin \alpha \) C.\( \cos \alpha \lt \sin \alpha \) D.\( \cos \alpha =1-\sin \alpha \) BKąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =0{,}6\). Wówczas A.\( \cos \alpha =0{,}8 \) i \(\operatorname{tg} \alpha =0{,}4\) B.\( \cos \alpha =0{,}4 \) i \(\operatorname{tg} \alpha =1{,}5\) C.\( \cos \alpha =0{,}8 \) i \(\operatorname{tg} \alpha =0{,}75\) D.\( \cos \alpha =0{,}4 \) i \(\operatorname{tg} \alpha =0{,}75\) CKąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =\frac{7}{13}\). Wtedy \(\operatorname{tg} \alpha \) jest równy A.\( \frac{7}{6} \) B.\( \frac{7\cdot 13}{120} \) C.\( \frac{7}{\sqrt{120}} \) D.\( \frac{7}{13\sqrt{120}} \) CKąt \(\alpha \) jest ostry i \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{12}{5}\). Wówczas \(\cos \alpha \) jest równy: A.\( \frac{5}{12} \) B.\( \frac{5}{13} \) C.\( \frac{10}{13} \) D.\( \frac{12}{13} \) BKąt \(\alpha \) jest ostry i \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{5}{12}\). Oblicz \(\cos \alpha \).\(\cos \alpha =\frac{12}{13}\)Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości \(3\) i \(9\). Sinus najmniejszego kąta tego trójkąta jest równy: A.\( \frac{3\sqrt{10}}{10} \) B.\( \frac{1}{3} \) C.\( \frac{\sqrt{10}}{10} \) D.\( \frac{\sqrt{10}}{30} \) CKąt \(\alpha \) jest ostry i \(\operatorname{tg} \alpha =2\). Oblicz \(\frac{\sin \alpha -\cos \alpha }{\sin \alpha +\cos \alpha }\).\(\frac{1}{3}\)Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości \(8\) i \(6\). Sinus większego z kątów ostrych tego trójkąta jest równy A.\( \frac{3}{5} \) B.\( \frac{3}{4} \) C.\( \frac{4}{5} \) D.\( \frac{4}{3} \) CW trójkącie równoramiennym wysokość jest dwa razy dłuższa od podstawy. Wynika stąd, że sinus kąta przy podstawie wynosi: A.\( \frac{\sqrt{17}}{17} \) B.\( \frac{\sqrt{5}}{5} \) C.\( \frac{4\sqrt{17}}{17} \) D.\( \frac{1}{17} \) CLiczba \(\sin 60^\circ +\cos 60^\circ \) jest równa A.\( 1 \) B.\( -\frac{\sqrt{3}}{2} \) C.\( \frac{\sqrt{3}+1}{2} \) D.\( \frac{2\sqrt{3}-3}{6} \) CLiczba \( \operatorname{tg} 30^\circ -\sin 30^\circ \) jest równa A.\(\sqrt{3}-1 \) B.\(-\frac{\sqrt{3}}{6} \) C.\(\frac{\sqrt{3}-1}{6} \) D.\(\frac{2\sqrt{3}-3}{6} \) DKąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =\frac{3}{4}\). Wartość wyrażenia \(2-\cos ^2\alpha \) jest równa A.\( \frac{25}{16} \) B.\( \frac{3}{2} \) C.\( \frac{17}{16} \) D.\( \frac{31}{16} \) AKąt \(\alpha \) jest ostry i \(\operatorname{tg} \alpha =1\). Wówczas A.\( \alpha \lt 30^\circ \) B.\( \alpha =30^\circ \) C.\( \alpha =45^\circ \) D.\( \alpha >45^\circ \) CKąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin\alpha = 0{,}75\). Wówczas A.\( \alpha \lt 30^\circ \) B.\( \alpha =30^\circ \) C.\( \alpha =45^\circ \) D.\( \alpha >45^\circ \) DKąt \(\alpha \) jest ostry oraz \(\sin \alpha =\cos 47^\circ \). Wtedy miara kąta \(\alpha \) jest równa. A.\( 6^\circ \) B.\( 33^\circ \) C.\( 47^\circ \) D.\( 43^\circ \) DKąt \( \alpha \) jest kątem ostrym i \( \operatorname{tg} \alpha =\frac{1}{2} \). Jaki warunek spełnia kąt \( \alpha \)? A.\(\alpha \lt 30^\circ \) B.\(\alpha =30^\circ \) C.\(\alpha =60^\circ \) D.\(\alpha >60^\circ \) AW trójkącie prostokątnym \( ABC \) odcinek \( AB \) jest przeciwprostokątną i \( |AB|=13 \) oraz \( |BC|=12 \) . Wówczas sinus kąta \( ABC \) jest równy. A.\(\frac{12}{13} \) B.\(\frac{5}{13} \) C.\(\frac{5}{12} \) D.\(\frac{13}{12} \) BKąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}\). Wartość wyrażenia \(\cos^2\alpha -2\) jest równa A.\( -\frac{7}{4} \) B.\( -\frac{1}{4} \) C.\( \frac{1}{2} \) D.\( \frac{\sqrt{3}}{2} \) AKąt \(\alpha \) jest ostry i \(\cos \alpha =0{,}9\). Wówczas A.\( \alpha \lt 30^\circ \) B.\( \alpha =30^\circ \) C.\( \alpha =45^\circ \) D.\( \alpha >45^\circ \) AKąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =0{,}8\). Wówczas A.\( \alpha \lt 30^\circ \) B.\( \alpha =30^\circ \) C.\( \alpha =45^\circ \) D.\( \alpha >45^\circ \) DKąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha = \cos \alpha \). Wówczas A.\( \alpha =30^\circ \) B.\( \alpha =45^\circ \) C.\( \alpha =60^\circ \) D.\( \alpha =90^\circ \) BWartość wyrażenia \(\sin^{2} 23^\circ +\sin^{2} 67^\circ \) jest równa: A.\( 2\sin^{2} 23^\circ \) B.\( 2\sin^{2} 67^\circ \) C.\( 1 \) D.\( 0 \) CKąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}\). Oblicz wartość wyrażenia \(\sin^2\alpha - 3\cos^2\alpha \).\(0\)Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =\frac{1}{4}\). Oblicz \(3 + 2\operatorname{tg}^2\alpha \).\(3\frac{2}{15}\)Oblicz wartość wyrażenia \(\operatorname{tg}^2\alpha -3\cos ^2\alpha \), jeżeli \(\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}\) i \(\alpha \) jest kątem ostrym.\(2\frac{1}{4}\)Kąty ostre \(\alpha \) i \(\beta \) trójkąta prostokątnego spełniają warunek \(\sin^{2} \alpha +\sin^{2}\beta +\operatorname{tg}^{2}\alpha =4\) . Wyznacz miarę kąta \(\alpha \).\(\alpha =60^\circ \)W trójkącie prostokątnym, w którym przyprostokątne mają długości \(2\) i \(4\), jeden z kątów ostrych ma miarę \(\alpha \). Oblicz \(\sin \alpha \cdot \cos \alpha \).\(\frac{2}{5}\)W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość \(a\) i \(b\), zaś naprzeciw boku \(a\) znajduje się kąt ostry \(\alpha\). Wykaż, że jeśli \(\operatorname{tg} \alpha = 2,\) to:\[\frac{(a+b)\cdot b}{a^2-b^2}=1\]Uzasadnij, że jeżeli \(\alpha\) jest kątem ostrym, to \(\sin^4\alpha + \cos^2\alpha = \sin^2\alpha + \cos^4\alpha\).Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =\frac{1}{4}\). Oblicz \(3+2\operatorname{tg}^2\alpha \).\(\frac{47}{15}\)W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych ma długość \(a\). Kąt ostry przy tym boku ma miarę \(\alpha \). Wykaż, że \(\sin \alpha +\cos \alpha >1\).Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }+\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=2\). Oblicz wartość wyrażenia \(\cos \alpha \cdot \sin \alpha \).\(\frac{1}{2}\)Rozwiąż równanie \(\cos 2x + \cos x + 1 = 0\) dla \(x\in \langle 0,2\pi \rangle\).\(x=\frac{\pi }{2}\) lub \(x=\frac{3\pi }{2}\) lub \(x=\frac{2\pi }{3}\) lub \(x=\frac{4\pi }{3}\)Rozwiąż równanie \(\cos2x + 2 = 3\cos x\).\(x=\frac{\pi }{3}+2k\pi \) lub \(x=-\frac{\pi }{3}+2k\pi \) lub \(x=2k\pi \) gdzie \(k\in \mathbb{Z} \)Podstawą ostrosłupa \(ABCDS\) jest romb \(ABCD\) o boku długości \(4\). Kąt \(ABC\) rombu ma miarę \(120^\circ \) oraz \(|AS|=|CS|=10\) i \(|BS|=|DS|\). Oblicz sinus kąta nachylenia krawędzi \(BS\) do płaszczyzny podstawy ostrosłupa.\(\sin \alpha =\sqrt{\frac{22}{23}}\)Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}\). Wtedy wartość wyrażenia \(2cos^2\alpha -1\) jest równa A.\( 0 \) B.\( \frac{1}{3} \) C.\( \frac{5}{9} \) D.\( 1 \) BW trójkącie prostokątnym długość jednej z przyprostokątnych jest równa \(7\), zaś długość przeciwprostokątnej jest równa \(8\). Zatem tangens mniejszego kąta ostrego w tym trójkącie jest równy: A.\( \frac{15}{7} \) B.\( \frac{8}{15} \) C.\( \frac{\sqrt{15}}{7} \) D.\( \frac{7\sqrt{15}}{15} \) CMaszt telekomunikacyjny rzuca cień, który jest \(2\) razy krótszy niż wysokość masztu. Oblicz cosinus kąta, pod jakim padają promienie słoneczne.\(\cos \alpha =\frac{\sqrt{5}}{5}\)W trójkącie prostokątnym o bokach \(6, 8, 10\), tangens najmniejszego kąta jest równy A.\(\frac{3}{4} \) B.\(1\frac{1}{3} \) C.\(\frac{3}{5} \) D.\(\frac{4}{5} \) AW trójkącie prostokątnym najdłuższy bok ma długość \(25\), a najkrótszy \(7\). Tangens najmniejszego kąta tego trójkąta jest równy: A.\(\frac{7}{24} \) B.\(\frac{24}{7} \) C.\(\frac{7}{25} \) D.\(\frac{24}{25} \) AJeżeli \( \alpha \) jest kątem ostrym oraz \( \operatorname{tg}{\alpha }=\frac{2}{5} \), to wartość wyrażenia \( \frac{3\cos{\alpha }-2\sin{\alpha }}{\sin{\alpha }-5\cos{\alpha }} \) jest równa A.\(-\frac{11}{23} \) B.\(\frac{24}{5} \) C.\(-\frac{23}{11} \) D.\(\frac{5}{24} \) AKąt \( \alpha \) jest ostry i spełniona jest równość \( 3\operatorname{tg}\alpha =2 \). Wtedy wartość wyrażenia \( \sin \alpha+\cos \alpha \) jest równa A.\(1 \) B.\(\frac{5\sqrt{13}}{26} \) C.\(\frac{5\sqrt{13}}{13} \) D.\(\sqrt{5} \) CKąt \( \alpha \) jest ostry oraz \( \frac{4}{\sin^2\!{\alpha }}+\frac{4}{\cos^2\!{\alpha }}=25 \). Oblicz wartość wyrażenia \( \sin{\alpha }\cdot \cos{\alpha } \). \(\frac{2}{5}\)Dla każdego kąta ostrego \(\alpha \) wyrażenie \(\sin^{2} \alpha +\sin^{2} \alpha \cdot \cos^{2}\alpha + \cos^{4}\alpha\) jest równe A.\( 2\sin^{2} \alpha \) B.\( 2\cos^{2}\alpha \) C.\( 1 \) D.\( 2 \) CKąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =\frac{1}{3}\). Wartość wyrażenia \(1+\operatorname{tg} \alpha \cdot \cos \alpha \) jest równa A.\( \frac{4}{3} \) B.\( \frac{11}{9} \) C.\( \frac{17}{9} \) D.\( \frac{11}{3} \) AKosinus kąta ostrego rombu jest równy \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), bok rombu ma długość \(3\). Pole tego rombu jest równe A.\( \frac{9}{2} \) B.\( \frac{9\sqrt{3}}{4} \) C.\( \frac{9\sqrt{3}}{2} \) D.\( 6 \) APrzyprostokątne w trójkącie prostokątnym mają długości \(1\) oraz \(\sqrt{3}\). Najmniejszy kąt w tym trójkącie ma miarę A.\( 60^\circ \) B.\( 30^\circ \) C.\( 45^\circ \) D.\( 15^\circ \) BKąt \(\alpha\) jest ostry i \(\cos\alpha = \frac{\sqrt{7}}{4}\). Oblicz wartość wyrażenia \(2+\sin^3\!\alpha +\sin\alpha \cdot \cos^2\!\alpha\).\(2\frac{3}{4}\)Na płaszczyźnie dane są punkty \( A=( \sqrt{2}, \sqrt{6} ) \text{, }\ B=(0, 0) \text{ i }\ C=(\sqrt{2}, 0)\) . Kąt \( BAC \) jest równy A.\(30^\circ \) B.\(45^\circ \) C.\(60^\circ \) D.\(75^\circ \) ALiczba \( \sin 150^\circ \) jest równa liczbie A.\( \cos 60^\circ \) B.\( \cos 120^\circ \) C.\( \operatorname{tg} 120^\circ \) D.\( \operatorname{tg} 60^\circ \) AJeżeli kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{3}{4}\), to \(\frac{2-\cos \alpha }{2+\cos \alpha }\) równa się A.\( -1 \) B.\( -\frac{1}{3} \) C.\( \frac{3}{7} \) D.\( \frac{84}{25} \) CW trójkącie, przedstawionym na rysunku poniżej, sinus kąta ostrego \(\alpha \) jest równy A.\( \frac{1}{5} \) B.\( \frac{\sqrt{6}}{12} \) C.\( \frac{5}{24} \) D.\( \frac{2\sqrt{6}}{5} \) DW układzie współrzędnych zaznaczono kąt \(\alpha \). Jedno z ramion kąta \(\alpha \) przechodzi przez punkt \(P=(-4,3)\). Wtedy: A.\( \cos \alpha = \frac{4}{5} \) B.\( \cos \alpha = -\frac{4}{5} \) C.\( \cos \alpha = -\frac{4}{3} \) D.\( \cos \alpha = -\frac{3}{4} \) BJeżeli \(0^\circ \lt \alpha \lt 90^\circ \) oraz \(\operatorname{tg} \alpha =2\sin \alpha \), to A.\( \cos \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2} \) B.\( \cos \alpha =\frac{1}{2} \) C.\( \cos \alpha =1 \) D.\( \cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2} \) BDrabinę o długości \(4\) metrów oparto o pionowy mur, a jej podstawę umieszczono w odległości \(1{,}30\) m od tego muru (zobacz rysunek). Kąt \(\alpha \), pod jakim ustawiono drabinę, spełnia warunek A.\( 0^\circ \lt \alpha \lt 30^\circ \) B.\( 30^\circ \lt \alpha \lt 45^\circ \) C.\( 45^\circ \lt \alpha \lt 60^\circ \) D.\( 60^\circ \lt \alpha \lt 90^\circ \) DKąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =\frac{2}{5}\). Wówczas \(\cos \alpha \) jest równy A.\( \frac{5}{2} \) B.\( \frac{\sqrt{21}}{4} \) C.\( \frac{3}{5} \) D.\( \frac{\sqrt{21}}{5} \) DRównanie \(2\sin x+3\cos x=6\) w przedziale \((0,2\pi )\) ma rozwiązań rzeczywistych. dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste. dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste. więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste. ASinus kąta ostrego \(\alpha \) jest równy \(\frac{3}{4}\). Wówczas A.\( \cos \alpha =\frac{1}{4} \) B.\( \cos \alpha =\frac{\sqrt{7}}{4} \) C.\( \cos \alpha =\frac{7}{16} \) D.\( \cos \alpha =\frac{\sqrt{13}}{16} \) BW trójkącie prostokątnym o długościach przyprostokątnych \(2\) i \(5\) cosinus większego z kątów ostrych jest równy A.\( \frac{5}{2} \) B.\( \frac{2}{5} \) C.\( \frac{2}{\sqrt{29}} \) D.\( \frac{5}{\sqrt{29}} \) CKąt \(\alpha \) jest ostry i spełnia równość \(\operatorname{tg} \alpha +\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha }=\frac{7}{2}\). Oblicz wartość wyrażenia \(\sin \alpha \cdot \cos \alpha \).\(\frac{2}{7}\)Kąt \(\alpha \) jest ostry oraz \(3\sin \alpha -\sqrt{3}\cos \alpha =0\). Wtedy A.\( \operatorname{tg} \alpha =\frac{1}{3} \) B.\( \operatorname{tg} \alpha =3 \) C.\( \operatorname{tg} \alpha =\sqrt{3} \) D.\( \operatorname{tg} \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3} \) DKąt \(\alpha \in (0^\circ , 180^\circ )\) oraz wiadomo, że \(\sin \alpha \cdot \cos \alpha =-\frac{3}{8}\). Wartość wyrażenia \((\cos \alpha -\sin \alpha )^2+2\) jest równa A.\( \frac{15}{4} \) B.\( \frac{9}{4} \) C.\( \frac{27}{8} \) D.\( \frac{21}{8} \) Wartość wyrażenia \(2\sin^{2} 18^\circ +\sin^{2} 72^\circ +\cos^{2} 18^\circ \) jest równa A.\( 0 \) B.\( 1 \) C.\( 2 \) D.\( 4 \) Opis zadania Jest to zadanie maturalne, które pochodzi z egzaminu maturalnego z 2009 roku poziom podstawowy, za które można było uzyskać 4 punkty. W zadaniu poruszane są takie zagadnienia jak: równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty, równanie kierunkowe prostej, warunek prostopadłosci prostych, układy równań oraz długość odcinka. Treść zadania Punkty \( B=(0, 10) \) i \( O = (0, 0) \) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego \( AOB \), w którym kąt \( \left|OAB \right|= 90^{\circ} \). Przyprostokątna \( OA \) zawiera się w prostej o równaniu \( y=\frac{1}{2}x \). Oblicz współrzędne punktu \( A \) i długość przyprostokątnej \( OA \). Rozwiązanie zadania Rysunek pomocniczy. Piszemy równanie prostej \( AB \). Jest ona prostopadła do \( OA \), zatem jej postać to \( y=-2x+b \) i równocześnie przechodzi przez punkt \( B \). Stąd \( b=10 \). Równanie prostej \( AB \) ma postać \( y=-2x+10 \). Teraz pozostaje nam znalezienie współrzędnych punktu \( A \) i obliczyć długość odcinka \( OA \). \[ \begin{cases} y=\frac{1}{2}x \\ y=-2x+10 \end{cases} \] Przyrównujemy równania do siebie otrzymując: \[ \frac{1}{2}x = -2x+10 \] Wymnażamy obustronnie przez 2 aby pozbyć się ułamka. \[ x = -4x+20 \] \[ 5x = 20\Rightarrow x=4 \]\[ y=\frac{1}{2}x=2\Rightarrow y=2 \] Ostatni krok to obliczyć długość odcinka \( OA \). \[ OA=\sqrt{\left(4^{2}+2^{2} \right)}=\sqrt{16+4}=2\sqrt{5} \]